Ein Extermwert ist ein Maximum oder ein Minimum einer Funktion, also im Graphen ein Hoch- oder ein Tiefpunkt.

Sieht man einen Graphen vor sich, erkennt man diese sofort, sie sind sozusagen die "Gipfel" und "Täler" eines Graphen.

 

Die Steigung des Graphen hat an diesen Stellen eine besondere Eigenschaft: Sie ist gleich Null!

Stell Dir am besten ein Fahrrad oder Auto vor, dass von links nach rechts über diesen Berg fährt.

Erst geht es steil bergauf, dann wird die Strasse beim ersten Maximum kurz flach, dann geht es wieder steil bergab.

Im Minimum ist die Strasse wieder kurz flach, genauso wie beim zweiten Maximum.

 

Eine wichtige Aufgabenstellung lautet:

"Bestimmen Sie die Extremwerte der Funktion f(x)."

Da wir wissen, dass bei den Extremwerten die Steigung gleich Null ist, verwendet man den Ansatz: f ' (x) = 0

 

Nehmen wir die Funktion f (x) = -0,25 x^4 + 1/3 x³ + x² + 2

Die Ableitung lautet:         f ' (x) = - x³ +  x² + 2x

 

Jetzt suchen wir die Lösungen der Gleichung:
f ' (x) = - x³ +  x² + 2x = 0

-x (x² - x - 2) = 0

 

Wir finden die Lösungen:

x = 0,  x = -1  und x = 2

 

Das sind genau die Stellen, an denen der abgebildete Graph seine Extrempunkte besitzt!