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Linearfaktorform von ganzrationalen Funktionen:
Man kann eine ganzrationale Funktion nicht nur in der allgemeinen Form
y = x³ - 2x² - x + 2
darstellen, sondern auch als Produkt in der Linearfaktorform:
y = (x + 1) · (x - 1) · (x - 2)
Bei beiden Formen handelt es sich um die gleiche Funktion! Wenn man die Linearfaktorform vollständig ausmultipliziert, dann ist das Ergebnis wieder die allgemeine Form.
![](https://image.jimcdn.com/app/cms/image/transf/dimension=284x1024:format=png/path/sf7d8c3fda36f0038/image/i8361b10519638320/version/1362136710/image.png)
Betrachtet man den Graph der Funktion, kann man an den Schnittstellen mit der x-Achse sofort die einzelnen Linearfaktoren erkennen:
- Der Schnittpunkt bei bei x = -1 entspricht dem Faktor (x + 1)
- Der Schnittpunkt bei bei x = 1 entspricht dem Faktor (x - 1)
- Der Schnittpunkt bei bei x = 2 entspricht dem Faktor (x - 2)
Neben den Linearfaktoren kann die Linearfaktorform auch noch den Leitkoeffizienten a beinhalten, der vor den Faktoren steht.
y = 1 · (x + 1) · (x - 1) · (x - 2)
Der Leitkoeffizient a ist in diesem Beispiel 1.
Um die Linearfaktorform zu bestimmen muss man also folgendes machen:
- Nullstellen bestimmen
- Leitkoeffizient a ablesen
- Alle Faktoren miteinander malnehmen
Aufgabe:
Wir suchen eine ganzrationale Funktion 3.Grades, mit Nullstellen bei x = -2,
x = 0 und x = 1, außerdem soll sie durch den Punkt P (2 / 4) gehen.
Lösung:
Die Nullstellen -2, 0 und 1 können wir direkt in die Linearfaktorform einsetzen:
y = a · (x - (-2)) · (x - 0) · (x - 1)
= a · (x + 2) · x · (x - 1)
Jetzt fehlt uns noch der richtige Leitkoeffizient a, damit die Funktion auch durch den Punkt P verläuft. Dazu setzen wir einfach den Punkt mit x = 2 und y = 4 in die Funktion ein:
4 = a · (2 + 2) · 2 · (2 - 1)
4 = a · 4 · 2 · 1
4 = 8 · a
Also ist a = 0,5
Damit haben wir die komplette Funktion ermittelt:
y = 0,5 · (x + 2) · x · (x - 1)