Nullstellen berechnen durch Substitution:
Für bestimmte ganzrationalen Funktionen gibt es auch noch eine andere Methode um die Nullstellen zu berechnen: die Substitution.
Die kann man immer dann verwenden, wenn die Funktion ähnlich wie eine Quadratische Funktion aufgebaut ist, zum Beispiel:
![](https://image.jimcdn.com/app/cms/image/transf/dimension=180x10000:format=png/path/sf7d8c3fda36f0038/image/ib7b9d9a4e7cf4163/version/1362308191/image.png)
Zum Vergleich die passende Quadratische Funktion:
![](https://image.jimcdn.com/app/cms/image/transf/dimension=180x10000:format=png/path/sf7d8c3fda36f0038/image/ia7338bd576d42e92/version/1362308205/image.png)
Man sieht, dass die Potenzen von x in der Funktion doppelt so gross sind, also x^4 statt x² und x² statt x.
Jetzt verwendet man einen Trick: Man ersetzt einfach die Variable x² durch einen Platzhalter, der zum Beispiel u heisst. Das nennt man Substitution:
u = x²
Wir setzen also in unsere Funktion f(x) dort, wo x² steht einfach ein u ein:
![](https://image.jimcdn.com/app/cms/image/transf/dimension=180x10000:format=png/path/sf7d8c3fda36f0038/image/i4af15875619cba40/version/1362308449/image.png)
Diese Gleichung können wir wie eine normale quadratische Gleichung für u lösen:
![](https://image.jimcdn.com/app/cms/image/transf/dimension=330x10000:format=png/path/sf7d8c3fda36f0038/image/ie25b948d8829270e/version/1362309791/image.png)
Wir haben also zwei Lösungen für u gefunden: u = 4 und u = -1.
Eigentlich wollen wir aber die Lösungen für x haben, deshalb müssen wir jetzt unseren Platzhalter u in die richtigen Werte für x umrechnen. Das nennt man Resubstitution:
- Resubstitution für u = 4
![](https://image.jimcdn.com/app/cms/image/transf/dimension=180x10000:format=png/path/sf7d8c3fda36f0038/image/i38907aa41bef2948/version/1362307964/image.png)
- Resubstitution für u = -1
![](https://image.jimcdn.com/app/cms/image/transf/dimension=180x10000:format=png/path/sf7d8c3fda36f0038/image/i8b8ceb9042834af3/version/1362308026/image.png)
-> Diese Gleichung hat keine Lösung für x, da -1 keine Wurzel hat!
Wir haben also insgesamt 2 Lösungen für x gefunden: x = 2 und x = -2. Sieht man sich den Graphen der Funktion an, dann sieht man, dass wir richtig gerechnet haben, denn genau in diesen zwei Punkten schneidet der Graph die x-Achse:
![](https://image.jimcdn.com/app/cms/image/transf/dimension=480x10000:format=png/path/sf7d8c3fda36f0038/image/i0a7a2593bb7fb8bc/version/1362308884/image.png)